「计算机图形学」透视投影变换

Caleb

2022 年 10 月 25 日

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学习笔记

### 总体思路：先透视变换，再投影，最终的变换矩阵$A = P_{透视}*P_{投影}$

# 1. 透视

## 1.1 一点透视

### 步骤：

(1) 进行平移变换，将三维形体平移到适当位 置l、m、n；

(2)进行透视变换；

(3)进行投影变换，向xoy平面作正投影变换，将结果变换到xoy平面上。

变换矩阵：

$P_{透视}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\L&M&N&1\end{bmatrix}$

</center>

## 1.2 两点透视

### 步骤：

(1)先将三维形体平移到适当位置，使视点有一定 高度，且使形体的主要表面不会积聚成线；

(2)将形体绕y轴旋转一个φ⻆(φ<90 ̊)，方向满足 右手定则；

(3)进行透视变换；

(4)最后向xoy面作正投影，即得二点透视图。

变换矩阵：

$P_{透视}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\L&M&N&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos(φ)&0&sin(φ)&0\\0&1&0&0\\-sin(φ)&0&cos(φ)&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

</center>

## 1.3 三点透视

### 步骤：

(1)首先将三维形体平移到适当位置;；

(2)将形体进行透视变换；

(3)然后使形体先绕y轴旋转φ⻆；

(4)再绕x轴旋转θ⻆；

(5)将变形且旋转后的形体向xoy面作正投影。

变换矩阵：

$P_{透视}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\L&M&N&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} cosφ&0&sinφ&0\\0&1&0&0\\-sinφ&0&cosφ&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&cosθ&sinθ&0\\0&-sinθ&cosθ&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

</center>

# 2 投影

<img src="https://gallery-of-jafari.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/caleb.ink/2022/10/401297090.png

&emsp; 首先考虑这样一种最简单的情况，假设投影中心为坐标为  $(0, 0, -d)$ ，空间中任意一点$P(x,y,z)$,投影到$xOy$平面一点 $P’(x’,y’,0)$，由相似三角形易证:

$x'= \frac{d}{d+z}*x$

$y'=\frac{d}{d+z}*y$

</center>

&emsp; 易得，$P’$的齐次坐标位为

$[\frac{d}{d+z}*x,\frac{d}{d+z}*y,0,1]$

</center>
  即

$[x,y,0,\frac{1+z}d]$

</center>
  因此，投投影矩阵为

$P_{投影}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0& \frac{1}{d} \\ 0&0&0&1 \\ \end{bmatrix}$

</center>

&emsp; 推广：空间任意一点作为投影中心，投影到xOy平面

$P_{投影}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \\ -x_0&-y_0&0&1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0& \frac{1}{d} \\ 0&0&0&1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \\ x_0&y_0&0&1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}  1&0&0&0\\0&1&0&0\\\frac{x}{d}& \frac{y}{d}&0& \frac{1}{d} \\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}$

</center>

最后修改：2024 年 09 月 05 日