「计算机图形学」用中点Bresenham算法画简单的双曲线，python实现

Caleb

2022 年 09 月 23 日

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学习笔记

## 目标

函数图像：双曲线$x^2-y^2=k^2$ ，即 $F(x,y)=x^2-y^2-k^2$ .

作图方法：中点Bresenham算法

## 分析

曲线$x^2-y^2=k^2$ 关于 $x$ 轴，$y$ 轴对称，因此只需考虑第一象限内的情况。同时，由于存在渐近线 $y=x$ 和 $y=-x$ , 因此 $y$ ，是该曲线第一象限内最大位移方向。

$y$ 方向每走一步， $x$ 方向 $+1$ 或不变

中点M的坐标$（x_i+0.5,y_i+1）$,代入$F(X_M,Y_M)$中，

- 若$F(x_M,y_M)>0$,表示M在双曲线右侧，$x_{i+1}=x_i$；
- 若$F(x_M,y_M)≤0$,表示M在双曲线左侧，$x_{i+1}=x_i+1$；

则误差$di=F(x_i+0.5,y_i+1)=(x_i+0.5)^2-(y_i+1)^2-k^2$

- $di≤0,x_{i+1}=x_i+1;$
- $di>0,x_{i+1}=x_i$

## 误差递推：

$di>0$ 时：

$d_{i+1}=F(x_i+0.5,y_i+2)$

$=(x_i+0.5)^2-(y_i+2)^2-k^2$

$=(x_i+0.5)^2-(y_i+1)^2-k^2-2y_i-3$

$=d_i-2y_i-3$

$d_i≤0$ 时：

$d_{i+1}=F(x_i+1.5,y_i+2)$

$=(x_i+1.5)^2-(y_i+2)^2-k^2$

$=(x_i+0.5)^2-(y_i+1)^2-k^2-2y_i-3+2x_i+2$

$=d_i+2(x_i-y_i)-1$

$d_0=F(k+0.5,1)=k-0.75$

## 代码

```python
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np

def quater_hyperbola(X,Y,k,num): 
""" 
用于画x^2-y^2=k^2双曲线的第一象限 
"""

#初始化x,y,d0 
x,y,d=k,0,k-0.75

for i in range(1,num+1): 
#递推误差d 
if(d>0): 
d=d-2*y-3 
else: 
d=d+2*(x-y)-1 
#y前进一步 
y=y+1 
#判断x是够前进 
if(d>0): 
x=x 
else: 
x=x+1 
#坐标加入列表中 
X=np.append(X,x) 
Y=np.append(Y,y) 
return (X,Y)

def draw_hyperbola(k,num): 
""" 
画曲线x^2-y^2=k^2
num控制x的范围 
""" 
X=np.array([],dtype=int) 
Y=np.array([],dtype=int)

#获取第一象限的坐标 
(X,Y)=quater_hyperbola(X,Y,k,num)

#获取其他三个象限的坐标 
X=np.append(X,np.negative(X)) 
Y=np.append(Y,Y)

X=np.append(X,X) 
Y=np.append(Y,np.negative(Y))

X=np.append(X,np.negative(X)) 
Y=np.append(Y,np.negative(Y))

# print(X,Y)

#原曲线 
x0 = np.arange(-1*num, num) 
y0 = [] 
y1=[] 
for t in x0: 
y_1 = np.sqrt(t*t-k*k) 
y0.append(y_1) 
for t in x0: 
y_1 = -1*np.sqrt(t*t-k*k) 
y1.append(y_1)

plt.plot(x0,y0,c="red") 
plt.plot(x0,y1,c="red")

#画出散点图 
plt.scatter(X,Y) 
plt.title("x^2-y^2={}^2".format(k)) # 设置标题

#设置坐标轴 
ax = plt.gca() 
ax.spines['right'].set_color('none') # 设置颜色为none ，就看不见了 
ax.spines['top'].set_color('none') 
# 移动x轴 
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom') 
ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) 
# 移动y轴 
ax.yaxis.set_ticks_position('left') 
ax.spines['left'].set_position(('data', 0))

plt.show() 
draw_hyperbola(20,40)
```

![结果](https://gallery-of-jafari.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/caleb.ink/2022/09/3099629087.png)

最后修改：2023 年 11 月 23 日